Aktuella platser för det nya huvudkontoret är fortsatt Canary Wharf men också Londons andra stora finansdistrikt City of London som har något dyrare hyreskostnader.
Jakten involverar moderna byggnader eftersom dessa är utformade för att kunna rymma fler personer på en mindre yta. Det skulle hjälpa Morgan Stanley att spara hyreskostnader utan att behöva göra sig av med personal.
Morgan Stanley har avböjt att kommentera.