I juni avslöjades att Elliott köpt aktier i Southwest för 1,9 miljarder dollar, motsvarande en ägarandel på cirka 11 procent.
"Southwest Airlines har gjort en ansträngning i god tro för att engagera sig konstruktivt med Elliott Investment Management sedan dess första investering och är fortfarande öppen för alla idéer för varaktigt värdeskapande," sade Gary Kelly i ett uttalande.
Elliott har historiskt haft många framgångar i sina aktivistkampanjer, vilket gjort hedgefonden till en av de mest framgångsrika i världen. Firman har över 65 miljarder dollar i tillgångar.