Bråket har sin bakgrund i förvärvet av cancerscreeningföretaget Grail.
"Vi är övertygade om att det behövs minst tre aktieägarrepresentanter i Illuminas styrelse för att försöka sätta stopp för detta vansinne nu innan det vårdslösa beslutsfattandet eskalerar till en situation som inte ger någon avkastning", skriver Icahn i brevet.