Fox-News profilen Hegseth har anklagats för sexuella övergrepp och misskötsel av två välgörenhetsorganisationer, medan Patel kritiserats för hot om att åtala politiska motståndare.
Vaccinskeptikern Robert F. Kennedy Jr., som Trump utsett till hälsominister, var heroinmissbrukare under flera år som tonåring och ung vuxen.
Demokrater och vissa republikaner har krävt noggranna kontroller av Trumps nomineringar innan de kan övervägas för godkännande i senaten, vilket är en bakgrund till avtalet som ska underlätta processen.